Je艣li moje notatki kiedykolwiek Ci si臋 przyda艂y i chcesz mi podzi臋kowa膰 polub prosz臋 moje kana艂y spo艂eczno艣ciowe i zasubskrybuj kana艂 na YouTube:
Je艣li moje notatki kiedykolwiek Ci si臋 przyda艂y i chcesz mi podzi臋kowa膰 polub prosz臋 moje kana艂y spo艂eczno艣ciowe i zasubskrybuj kana艂 na YouTube:
Je艣li moje notatki kiedykolwiek Ci si臋 przyda艂y i chcesz mi podzi臋kowa膰 polub prosz臋 moje kana艂y spo艂eczno艣ciowe i zasubskrybuj kana艂 na YouTube:
Je艣li moje notatki kiedykolwiek Ci si臋 przyda艂y i chcesz mi podzi臋kowa膰 polub prosz臋 moje kana艂y spo艂eczno艣ciowe i zasubskrybuj kana艂 na YouTube:
Je艣li moje notatki kiedykolwiek Ci si臋 przyda艂y i chcesz mi podzi臋kowa膰 polub prosz臋 moje kana艂y spo艂eczno艣ciowe i zasubskrybuj kana艂 na YouTube:
Przeciwprostok膮tn膮 w trojk膮cie prostok膮tnym ma d艂ugo艣膰 12. 艢rodkowe trojkata przecinaj膮 si臋 w punkcie P.
W trojkat r贸wnoramienny o wysoko艣ci 4 i podstawie d艂ugo艣ci 6 wpisano okr膮g. Oblicz promie艅 tego okr臋gu
Na okr臋gu o promieniu 2 opisano trojkat r贸wnoramienny o kacie przy podstawie 30. Oblicz obw贸d tego trojkata.
W trojk膮cie prostok膮tnym przeciwprostokatna ma d艂ugo艣膰 6. Wysoko艣膰 opuszczona na przeciwprostokatna dzieli ja w stosunku 1:2.
Pole rombu wynosi 36, a jedna z przek膮tnych tego rombu jest dwa razy d艂u偶sza od drugiej.
Dany jest trapez w kt贸rym podstawy maja d艂ugo艣膰 4 i 10 cm oraz ramiona tworz膮
Zestaw A. Zadania powt贸rzeniowe 1. Przyprostok膮tne tr枚jk膮ta prostok膮tnego maj膮 d艂ugo艣ci 6- V13 i 6+ v13. Oblicz d przeciwprostok膮tnej. 2. Przeciwprostok膮tna tr枚jk膮ta prostok膮tnego ma d艂ugo艣茅 v5, a jedna z przyprostok膮tnych 3. Prayprostok膮tne tro枚jk膮ta prostok膮tnego maj膮 d艂ugo艣ci 6 i 8. Oblicz wysoko艣茅 opuszczo 4. Jedna z przyprostok膮tnych tr贸jk膮ta prostok膮tnego jest trzy razy d艂u偶sza od drugiej, a w 5. Tr贸jk膮t ABC jest tr贸jk膮tem prostok膮tnym o k膮cie prostym przy wierzchol艂ku C. V jest dwa razy d艂u偶sza od drugiej. Oblicz pole tr贸jk膮ta. na przeciwprostok膮tn膮. ko艣膰 opuszczona na przeciwprostok膮tn膮 wynosi 3V10. Oblicz diugo艣ci przyprostok膮tnych. miary k膮t贸w a i B, je艣li odcinek: a) CD jest wysokokci膮 tro贸jkata, b) AD jest zawarty w dwusiecznej k膮ta CAB 35° 55° 6. Przeciwprostok膮tna w tr贸jk膮cie prostok膮tnym ma d艂ugo艣膰 12. Srodkowe tr贸jk膮ta przeci- naj膮 si臋 w punkcie P. Oblicz d艂ugo艣膰 艣rodkowej opuszczonej na przeciwprostok膮tn膮 oraz 7. W tr贸jk膮cie ABC 艣rodkowa opuszczona z wierzcho艂ka C jest dwa razy kr贸tsza od boku AB, 8. Srodkowe w tr贸jk膮cie r贸wnoramiennym majg d艂ugo艣ci: 12, 12 i 3. Oblicz d艂ugo艣ci bok贸w d艂ugo艣ci odcink贸w, na kt贸re punkt P dzieli 艣rodkow膮. Wyznacz miar臋 k膮ta ACB tego tr贸jk膮ta. 9. Dhugo艣膰 podstawy tr贸jk膮ta r贸wnoramiennego wynosi 4v/5, a wysoko艣膰 opuszczona na t臋 podstaw臋 jest r贸wna 4. Oblicz d艂ugo艣膰 ramienia tr贸jk膮ta oraz wysoko艣膰 opuszczon膮 ra rami臋 tr贸jk膮ta. 10. W tr贸jk膮cie r贸wnoramiennym rami臋 jest dwa razy d艂u偶sze od wysoko艣ci opuszczonej na podstaw臋. Oblicz pole tr贸jk膮ta, je艣li podstawa ma d艂ugo艣膰 12.
Zadenia powt贸rzeniowe 20. Dany jest tr贸jk膮t prostokgtny ABC (rysunek obok). Punkt D jest 艣rodkiem odcinka AC Wyka偶, 偶e tr贸jkaty ABC i ADE s膮 podobne. Oblicz d艂ugok茅 odcinka DE, je艣li IBC-5 i ICD 6. 21. W tr贸jk膮cie prostok膮tnym wysoko艣膰 opuszczona na przeciw- prostok膮tn膮 dzieli j膮 w stosunku 9:16. Oblicz stosunek: a) d艂ugoici przyprostok膮atnych tego tr贸jk膮ta, b) p贸l tr贸jk膮t贸w, na kt贸re wysoko艣膰 dzieli ten tr贸jk膮t. 22. Odcinki AB i CD s膮 r贸wnolegte (rysunek obok). Oblicz x i y 23. Wyka偶, ze pole ko艂a opisanego o3 A X C na kwadracie jest dwa razy wi臋ksze od pola ko艂a wpisanego w ten kwadrat. M Promierh kola opisanego na kwadracie jest o 2 wi臋kszy od promienia kola wpisanego w ten M kwadrat. Oblicz sume tych promieni. 25. Pole ko艂a opisanego na prostok膮cie wynosi 40T. Jeden z bok贸w prostok膮ta jest trzy razy 26. Pole rombu wynosi 6, a jedna z przek膮tnych tego rombu ma d艂ugo艣膰 4. Oblicz d艂ugo艣膰 d艂u偶szy od drugiego. Oblicz obw贸d tego prostok膮ta. boku i wysoko艣膰 tego rombu 27. Pole rombu wynosi 36, a jedna z przek膮tnych tego rombu jest dwa razy d艂u偶sza od drugiej Oblicz d艂ugo艣膰 boku tego rombu i pole ko艂a wpisanego w ten romb. 28. Oblicz cosinus k膮ta ostrego rombu o boku 3 i wysoko艣ci 2. 29. Trapez na rysunku jest r贸wnoramienny. Oblicz jego pole. b) 120° 12 30. W trapezie r贸wnoramiennym kr贸tsza podstawa i wysoko艣膰 maj膮 d艂ugo艣膰 3, a d艂ugo艣膰 prze- k膮tnej jest r贸wna 5. Oblicz obw贸d i pole tego trapezu. 6
31. Oblicz wysoko艣膰 trapezu przedstawionego na rysunku. 32. a) Oblicz pole r贸wnoleg艂oboku o bokach 514 oraz k膮cie ostrym 45°. b) Przek膮tne r贸wnoleg艂oboku maj膮 dhugo艣ci 8 i 10, a k膮t mi臋dzy nimi jest r贸wny 30 Oblicz pole tego r贸wnoleg艂oboku. 33. Wyznacz miary k膮t贸waip b) 145° 34. Wyznacz miar臋 k膮ta a. b) c) 35. Z punktu A le偶膮cego na okr臋gu poprowadzono dwie ci臋ciwy - AB i AC. Miara k膮ta za- wartego mi臋dzy styczn膮 poprowadzon膮 do okr臋gu w punkcie A a ci臋ciw膮 AB zawieraj膮c膮 艂uk AB wynosi 40°, a mi臋dzy styczn膮 a ci臋ciw膮 AC ma 70°. Wyznacz miary k膮t贸w tr贸j- k膮ta ABC. 36. W okr臋gu o promieniu 6 poprowadzono ci臋ciw臋 AB. Kat mi臋dzy tq ci臋ciw膮 a styczn膮 do okr臋gu w punkcie A wynosi 459. Oblicz d艂hugo艣ci 艂uk贸w okregu wyznaczonych przez ci臋- ciw臋 AB. 69TURALNE MAT Zadania powt贸rzeniowe Zadanie 10. (2 pkt) CKE w pier艣cieniu ko艂owym ci臋ciwa zewn臋trznego okregu ma d艂ugo艣膰 10 i jest styczna do we wngtrznego okr臋gu (zobacz rysunek). Wyka偶, 偶e pole tego pier艣cienia mo偶na wyrazi膰 wzorem. w kt贸rym nie wystepuj膮 promienie wyznaczaj膮cych go okr臋g贸w Zadanie 11. (2 pkt) W tr贸jk膮cie r贸wnoramiennym rami臋 o d艂ugo艣ci 8 cm jest nachylone do podstawy pod ka tem 67,5°. Oblicz pole tego tr贸jk膮ta. Na kwadracie o boku d艂ugo艣ci 1 opisano okr膮g. Oblicz pole kwadratu opisanego na tym okr臋gu. Zadanie 12. (2 pkt) Zadanie 13. (2 pkt) CKE Punkt E le偶y na ramieniu BC trapezu ABCD, w kt贸rym AB | CD. Udowodnij, 偶e: 0. Zadanie 14. (2 pkt) Ramiona trapezu maj膮 d艂ugo艣ci 3 i 6, a wysoko艣膰 jest r贸wna 2. Oblicz pole tego trapezu, je艣i jego obw贸d jest r贸wny 21. Zadanie 15. (2 pkt) Wysoko艣膰 trapezu wynosi 3, a d艂u偶sza podstawa ma d艂ugo艣膰 6. Punkt przeci臋cia przek膮tnych dzieli ka偶d膮 z nich w stosunku 1:2. Oblicz pole tego trapezu. Zadanie 16. (2 pkt) CKE Kr贸tsza przek膮tna dzieli trapez prostokatny na tr贸jk膮t prostok膮tny i tr贸jk膮t r贸wnoboczny. D艂u偶sza podstawa trapezu jest r贸wna 6. Oblicz obw贸d tego trapezu. Zadanie 17. (2 pkt) Obw贸d rombu jest r贸wny 24. Oblicz pole rombu, je艣li jedna z jego przek膮tnych jest r贸wna bokowi. Zadanie 18. (2 pkt) ) Pole r贸wnoleg艂oboku jest r贸wne 12, a jeden z jego bok贸w ma d艂ugo艣膰 4. Oblicz d艂ugo艣膰 dru giego boku, je艣li k膮t ostry tego r贸wnoleg艂oboku jest r贸wny 45° 72
Zadania powt贸rzeniowe Zestaw C. Zadania otwarte kr贸tkiej odpowiedzi s 193 s194 Zadanie 1. (2 pkt) Wyznacz miar臋 k膮ta ABC (rysunek obok). Zadanie 2. ( 2 pkt ) Dany jest tr贸jk膮t prostok膮tny o przyprostok膮tnych d艂u- go艣ci 4 i 8. Oblicz d艂ugo艣茅 艣rodkowej tego tr贸jk膮ta po- prowadzonej z wierzcho艂ka k膮ta prostego Zadanie 3. (2 pkt) Jeden z kat贸w tr贸j ata prostokatnego ma miar臋 60, a przeciwprostok膮tna w tym tr枚jk膮cie ma d艂ugo艣膰 8. Oblicz d艂ugo艣ci przyprostok膮tnych. ne 24 3Zadanie 4.(2 pkt) CKB Tr贸jk膮ty prostok膮tne r贸wnoramienne ABC i CDE s膮 po艂o- 偶one tak, jak na rysunku obok (w obu tr贸jk膮tach k膮t przy wierzcho艂ku C jest prosty). Wyka偶, 偶e (AD-BE Zadanie 5. (2 pkt)$ Jedna z przyprostok膮tnych tr贸jk膮ta prostok膮tnego ma d艂ugo艣膰 8. Oblicz obw贸d tr贸jk膮ta, je艣li promie艅 okr臋gu wpisanego w ten tr贸jk膮t jest r贸wny 2. Zadanie 6. (2 pkt) W tr枚jk膮cie prostok膮tnym jeden z k膮t贸w ostrych ma miar臋 30°, a wysoko艣膰 poprowadzona 3V2 z wierzcholka kata prostego jest r贸wna 3. Oblicz dhugo艣ci przyprostok膮tnych. Zadanie 7. (2 pkt) Pole tr贸jk膮ta prostok膮tnego jest r贸wne 12, a promie艅 okr臋gu opi- sanego na tym tr贸jk膮cie wynosi 3. Oblicz wysoko艣膰 tr贸jk膮ta opusz- czon膮 na przeciwprostok膮tn膮 Zadanie 8. (2 pkt) W tr贸jk膮cie prostok膮tnym ABC z wierzcho艂ka kata prostego C poprowadzono 艣rodkow膮 CD (rysunek obok). Wyznacz miary k膮t贸w a i p. 50° Zadanie 9. (2 pkt) CKE Na tr贸jk膮cie o bokach d艂ugo艣ci: V7, /8, V15 opisano okr膮g. Oblicz promie艅 tego okr臋gu. 71
Zadania powt贸rzeniowe 11. Przyprostok膮tne tr贸jk膮ta prostok膮tnego maj膮 d艂ugo艣ci 6 i 8. Oblicz promie艅 okregu opisa 12. Promie艅 okregu opisanego na tr贸jk膮cie prostok膮tnym wynosi 5, a jedna z przyprostok膮t 13. W tr贸jk膮t r贸wnoramienny o wysoko艣ci 4 cm i podstawie d艂ugo艣ci 6 cm wpisano okrag 14. Na okrgu o promieniu 2 opisano tr枚jk膮t r贸wnoramienny o k膮cie pry podstawie 30. 15. Korzystaj膮c z danych zamieszczonych na rysunku, oblicz pole tr贸jk膮fa. nego na tym tr贸jk膮cie i promie艅 okregu wpisanego w ten tr贸jk膮t. nych tego tr贸jk膮ta jest dwa razy d艂u偶sza od drugiej. Oblicz promie艅 okregu wpisanego w ten tr贸jk膮t. Oblicz promie艅 tego okr臋gu. Oblicz obw贸d tego tr贸jk膮ta a)io ugiej, a b) ej k膮ta 16. Sprawds, czy tr贸jkay o podanych dhugokciach bok贸w sa podobne.Jetll tak, to podaj skale podobie艅stwa. a) 6,9, 12 oraz 3,2,4 17. Tr贸jk膮t ABC jest prostok膮tny (rysunek ni偶ej). Wyka偶, 偶e tr贸jk膮ty ABC, ACD i CBD sa podobne. Oblicz obw贸d tr贸jk膮ta ACD ta przed- tn膮 ora b) 15 oku AB 16 18. W tr枚jk膮cie prostok膮tnym przeciwprostok膮tna ma dhugo艣茅 6. Wysoko艣膰 opuszczona na 104 przeciwprostok膮tn膮 dzieli jg w stosunku 1:2. Oblicz d艂ugo艣ci przyprostok膮tnych tego tr贸j- n na k膮ta. 19. Przyprostok膮tne tr贸jk膮ta prostok膮tnego maj膮 d艂ugo艣ci v5 i 2v/5. Oblicz d艂ugo艣ci odcin- wierzcho艂ka k膮ta prostego podzieli艂a przeciwprosto- k贸w, na jakie wysoko艣膰 opuszczona z 67
czna do w Zestaw D. Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi1 Zadanie 1. (4 pkt) 14 W tr贸jk膮t r贸wnoramienny wpisano okr膮g. Ka偶de rami臋 tr贸jk膮ta zosta艂o podzielone przez punkt styczno艣ci na odcinki o d艂ugo- 艣ci 2 i 3 (rysunek obok). Oblicz promie艅 okr臋gu. Zadanie 2. (4 pkt) Podstawa tr贸jk膮ta r贸wnoramiennego jest r贸wna 6, a rami臋 ma d艂ugo艣茅 3v/5. Srodkowe przecinaj膮 si臋 w punkcie P. Oblicz od- leg艂o艣膰 tego punktu od ka偶dego z wierzcho艂k贸w. Zadanie 3. (4 pkt) CKE Pod k W tr枚jk膮cie ostrok膮tnym ABC bok AB ma d艂ugo艣膰 18 cm, a wysoko艣膰 CD jest r贸wna 15 cm. Punkt D dzieli bok AB tak, 偶e JAD]: IDB)-1:2. Przez punkt P le偶膮cy na odcinku DB popro- wadzono prost膮 r贸wnoleg艂膮 do prostej CD, odcinaj膮c od tr贸jk膮ta ABC tr贸jk膮t, kt贸rego pole jest cztery razy mniejsze ni偶 pole tr贸jk膮ta ABC. Oblicz d艂ugo艣膰 odcinka PB na tym Zadanie 4. (4 pkt) Tr贸jk膮t ABC (rysunek obok) jest prostokatny o k膮cie prostym przy wierzcho艂ku C. Oblicz jego obw贸d. A 3 D Zadanie 5. (5 pkt) 96 Kr贸tsza podstawa trapezu r贸wnoramiennego ma d艂ugo艣膰 2, a jego przek膮tna ma d艂ugo艣茅 12. Punkt przeci臋cia przek膮tnych dzieli ka偶d膮 z nich w stosunku 1:3. Oblicz pole tego trapezu. , je艣li Zadanie 6. (4 pkt) CKB 96 Dany jest trapez, w kt贸rym podstawy maj膮 d艂ugo艣茅 4 cm i 10 cm oraz ramiona tworz膮 z d艂u偶- sz膮 podstaw膮 k膮ty o miarach 30° i 45°. Oblicz wysoko艣膰 tego trapezu. nych Zadanie 7. (4 pkt) 98 W okr膮g o promieniu 4 wpisano tr贸jk膮t r贸wnoramienny (rysu 120° nek obok). Oblicz dhugo艣ci bok贸w tego tr贸jk膮ta, je艣li k膮t mi臋dzy jego ramionami wynosi 120 zny. Zadanie 8. (3pkt) 93 W pewnym rombie k膮t rozwarty jest dwa razy wi臋kszy od k膮ta ostrego. Oblicz d艂ugo艣茅 boku i wysoko艣膰 rombu, je艣li kr贸tsza przek膮tna ma d艂ugo艣膰 4. 73
Dany jest trapez rownoramienny o podstawach AB i CD. Jego przek膮tne w punkcie P przecinaj膮 estuncie P. Oblicz pole i obw贸d tego trapezu, je艣li AB)-36 cm, IDC-24 cm, a lsi Jest odlegly od d艂u偶szej podstawy o 15 cm. Zadanie 9. (4 pk) 03 8 Zadanie 10. (4 pkt) icz obw贸d trapezu prostok膮tnego ABCD (rysunek obok) Zadanie 11. (5 pkt) 99 Bok rombu ma d艂ugo艣膰 5, a wysoko艣膰 rombu wynosi 4. Oblicz d艂ugo艣ci przek膮tnych tego rombu Zadanie 12. (4 pkt) 400 Stosunek pol trzech parami stycznych zewn臋trznie okr臋g贸w wynosi 1:4:9. Uzasadnij, 偶e 艣rod tych okr臋g贸w s膮 wierzcho艂kami tr贸jk膮ta prostok膮tnego. 9 Zadanie 13, (4 pkt) NoN Promie艅 okregu wpisanego w tr贸jkat prostok膮tny jest r贸wny 4, a promie艅 okr臋gu na nim opisanego jest r贸wny 10. Oblicz pole tr贸jk膮ta. Zadanie 14. (3 pkt) 04 Odcinki AB i CD s膮 r贸wnoleg艂e, a punkt O jest 艣rodkiem okr臋gu (rysunek obok). Wyznacz miary k膮t贸w a, Biy (SZadanie 15. (4 pkt) Ao Ramiona trapezu maj膮 d艂ugo艣ci 5 i 6, a d艂u偶sza podstawa jest r贸wna 10. Oblicz d艂ugo艣膰 kr贸tszej podstawy, je偶eli wy soko艣膰 trapezu wynosi 4. G8 Zadanie 16.(4 pkt) W trapezie r贸wnoramiennym d艂ugo艣膰 ramienia jest r贸wna d艂ugo艣ci kr贸tszej podstawy. Oblicz d艂ugo艣膰 d艂hu偶szej podstawy, je偶eli k膮t ostry trapezu wy nosi 45°, a jego obw贸d jest r贸wny 14. Zadanie 17. (4 pkt) CKE Punkt D le偶y na boku BC tr贸jk膮ta r贸wnoramiennego ABC, w kt贸rym AC-IBC). Odcinek AD dzieli tr贸jk膮t ABC na dwa tr贸jk膮ty r贸wnoramienne w taki spos贸b, 偶e JAD ICD oraz |AB-IBD] (zobacz rysunek). Udowodnij,
